SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 1990 – 1991

Môn thi : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 : ( 4 điểm)
Có hay không số tự nhiên n sao cho ( 10n + 1991) chia hết cho ( 101991 – 1) ?

Bài 2 : ( 4 điểm )
Giải các phương trình sau :
1) ( với a, b ( R, x là ẩn số thực )
2) ( x là ẩn số thực )

Bài 3 : ( 4 điểm )
Trên hệ trục tọa độ vuông góc Oxy :
a) Hãy vẽ đồ thị (D) của hàm số y =
b) Cho đường thẳng (Dm) biểu thị bởi phương trình y = m ( với m là số thực). Với điều kiện nào của m thì (D) và (Dm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Tính theo m hoành độ của A và B, từ đó hãy tính diện tích của tam giác OAB

Bài 4 : ( 4 điểm)
Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn đường kính DC và vẽ cung phần tư BD có tâm là C. Gọi P là một điểm bất kỳ trên cung BD, đoạn thẳng CP cắt nửa đường tròn đường kính DC tại K. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AD. Chứng minh rằng : DP vuông góc với HK.

Bài 5 : ( 4 điểm )
Cho ba đường tròn ngoài nhau ( không tiếp xúc, không cắt và không chứa nhau ) có tâm cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng nếu có một đường tròn thứ tư tiếp xúc với cả ba đường tròn đó thì bán kính của nó phải lớn hơn bán kính của ít nhất một trong ba đường tròn đã cho ?

--------------------------



SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 1991 – 1992

Môn thi : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 180 phút

Thí sinh làm các bài toán sau đây :
Bài 1 : ( 4 điểm)
Một lớp học có 30 học sinh. Trong giờ học ngoại ngữ, một học sinh viết chính tả phạm 12 lỗi, các học sinh còn lại có số lỗi ít hơn. Chứng minh rằng trong lớp ít nhất có ba học sinh có cùng một số lỗi như nhau .

Bài 2 : ( 4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
11x + 18y = 120
Bài 3 : ( 4 điểm)
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng (n5 – n) chia hết cho 10.
b) Sử dụng kết quả câu a) để chứng minh rằng (x – y) chia hết cho 10, biết rằng x và y là hai số tự nhiên sao cho x > y và hai chữ số tận cùng của x5 và y5 bằng nhau.
Bài 4 : ( 4 điểm)
Cho ba điểm A, B, C khác nhau nằm trên một đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và m là trung điểm của BC. CMR: AH = 2.OM

Bài 5 : ( 4 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD
a) Chứng minh rằng :
SABCD ( (1)
( Diện tích tứ giác lồi thì nhỏ hơn hoặc bằng phân nửa tổng của tích các cặp cạnh đối diện )
b) Chứng minh rằng dấu đẳng thức ở (1) xảy ra khi bốn đỉnh của tứ giác ABCD ở trên một đường tròn và AC vuông góc với BD.

----------------------





SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 1992 – 1993

Môn thi : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 : ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu tổng ba số tự nhiên liên tiếp là số lẻ thì tích của chúng chia hết cho 24.

Bài 2 : ( 2 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
x2 – 4xy + 5y2 = 169
Bài 3 : ( 2 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số
Aùp dụng : Giải phương trình và bất phương trình bằng đồ thị

Bài 4 : ( 2 điểm)
Cho tam giác vuông ABC (Â = 900). Hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc với nhau tại trung điểm O của cạnh BC và cắt cạnh AB ở M, cắt cạnh AC ở H. Chứng minh rằng :
a) Hai tam giác ABC và ONM đồng dạng với nhau.
b) Xác định vị trí của góc vuông MON